miércoles, 18 de febrero de 2009

Ensayo de probabilidad

Universidad Inter-Americana de Puerto Rico
Recinto de San Germán
Maestría en Matemáticas Aplicadas









Ensayo de Probabilidad













Juan C. Morales
Math 5400
Prof. Balbino García


Dentro de la historia, algunas personas siempre han sentido una atracción hacia los juegos de azar. Al inicio, la probabilidad comenzó siendo una colección de observaciones respecto al juego de azar. Con el tiempo se ha convertido en una rama importantísima de Las matemáticas puras y aplicadas. En el siglo XIX, Fermat en su obra “ Teoría analítica de la probabilidad” y en el siglo XX, Kolmogrov, cambiaron la probabilidad en ciencia. Aunque no es posible tener seguridad absoluta de la veracidad de dichas inferencias frecuente mente se emplea el término de probabilidades para hablar de estas conclusiones. La probabilidad tiene un auge amplio en el conocimiento humano, que su aplicación práctica se manifiesta en casi todas las áreas del saber.

Para poder calcular la probabilidad de un evento tenemos que conocer algunos conceptos. Como por ejemplo Teoría de Conjuntos y Teoría de Combinatoria y otros mas que se mencionaran mas adelante. En la teoría de conjuntos tenemos que saber la definición de conjunto, que es de suma importancia. Un conjunto es una colección de objetos que se le llaman elementos. En otras palabras un conjunto es una agrupación de elementos. Se le llama al conjunto con una letra mayúscula y a los elementos con letras minúsculas. Sea A={x,b,c}, pues A es el nombre del conjunto y x,b y c son los elementos. De los mismos conjuntos se pueden sacar otros conjuntos que le llamaremos sub conjuntos. Los subconjuntos se forman de elementos del conjunto original formando otro conjunto. La notación de subconjunto viene dad por , donde A es subconjunto de B si cada elemento de A se encuentra en B. Un ejemplo puede ser D={3,4,5,6}, pues A={4,5} como los elementos de A se encuentran en D pues se dice que . También es necesario saber que el conjunto vacío que se denota por ó {} es subconjunto de todo conjunto. Por otra parte se debe conocer los conceptos de unión, intersección y complemento de conjuntos. La unión de dos conjuntos es la unión de los elementos que se encuentran en cada conjunto. En notación se describe de la siguiente forma, sean A y B conjuntos finitos, pues se lee A unión B. Un ejemplo de unión puede ser que los conjuntos D={5,7,9} y B={1,3,4,7} pues {1,3,4,5,7,9}. Una aclaración los elementos que se repiten en la unión se escriben una sola vez. En la intersección se asumen dos conjuntos A y B, la notación para intersección esta dada por que significa A intersección B que son los elementos que tienen común. Un ejemplo de la intersección puede ser los conjuntos C={3,5,7,11} y D={8,6,7,3}, la intersección de los conjuntos se denota por {7,3}, son los elementos que tienen en común. En el caso de que no tengan ningún elemento en común pues se genera el conjunto vacío. El complemento de un conjunto se denota por U-A ó AC donde U será el universo(conjunto mas grande) y A un subconjunto de U y significan los elementos que le faltan a el conjunto A para ser igual a U. Esta definición se puede explicar con un diagrama de venn que se utiliza para representar el universo y las uniones e intersecciones de los conjuntos. El diagrama de venn se dibuja de la siguiente forma en los siguientes casos; significa los conjunto A y B, en el siguiente diagrama podemos ver la intersección de A y B el color oscuro representa la intersección de A y B, en cuanto al universo pademos ver lo que sigue donde la parte oscura viene siendo el complemento de A y B que junto seria el universo. También en teoría de conjuntos encintramos el producto cartesiano, que se denota por A x B = {(a,b) / a ε A , b ε B} y quiere decir que se formaran unos conjuntos de pares ordenados donde a cada elemento de A se pareará con cada elemento de B. Ejemplo; Sean A={4,5,7} y B={1,2,6} pues A x B = { (4,1),(4,2),(4,6),(5,1),(5,2),(5,6),(7,1),(7,2),(7,6)}. El producto cartesiano no es conmutativo debido a que los pares ordenados tienen un orden. También podemos calcular el número de elementos de un conjunto por la notación n(A) donde n representa el número de elementos de A. Ej: Sea A = {7, 8, 9,10} y B= {2, 6,4}, pues n(A)=4 y n(B) = 3. En el caso de que se calcule el número de elementos de la unión que se denota por n ( ) = n(A) + n (B) – n ( ), donde se suman la cantidad de elementos que tienen cada conjunto y se resta la cantidad de elementos que tienen en común. En el caso de n (AC) = n (U) – n (A), esto sería el calculo del numero de elemento del complemento de A. Con esto tenesmos un resumen de la teoría de conjuntos que será necesaria para el calculo de probabilidad.

En teoría de combinatoria podemos encontrar varios conceptos tales como; factorial, coeficiente binomial, etc. La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados. Comenzamos explicando el concepto de factorial, el factorial de un número se denota por x! donde x es un entero no negativo y significa distribuir multiplicaciones desde x hasta 1. En el lenguaje matemática sería x! = (x)(x-1)(x-2)….(2)(1). Un ejemplo de factorial sería el siguiente 5! = (5)(4)(3)(2)(1)= 120. Conociendo ya que es un factorial de un número podemos entender lo que sería el coeficiente binomial que se denota por = . Un ejemplo sería en el coso que se fuera a elegir un comité de 6 personas de un grupo de 9 ¿ De cuantas maneras se puede hacer?
= . Se puede hacer de maneras.

Por otra parte podemos usar factorial para resolver combinaciones como el siguiente ejemplo; De cuantas maneras distintas se pueden ordenar una fila horizontal de 5 libros distintos. Esto se resolvería utilizando factorial pues 5 ¡ = 120. Se puede organizar los libros en 120 formas distintas. La combinación se usa para analizar varias combinaciones que nos pueden ayudar en el cálculo de probabilidades.


La probabilidad consiste en que al hacer un experimento, las mismas condiciones iniciales no producen siempre el mismo resultado final. La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio ( aleatorio quiere decir al azar), del que se conoce todos los resultados posibles. Para efecto la probabilidad no puede pasar del 100%. Hay dos amplias categorías de interpretación de la probabilidad; los frecuentitas que hablan de probabilidades solo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos y los bayasianos que asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso hasta cuando no implica un proceso aleatorio. Para poder explicar la definición de probabilidad debemos saber que es un espacio muestral. Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de in experimento aleatorio y se representa por . La definición de probabilidad puede ser: suponer que U es el espacio muestral finito con N elementos y , la P(A) = donde P(A) se lee la probabilidad de A. Algunas consecuencias pueden ser (esto dice que la probabilidad del conjunto vacío es cero), (esto se refiere a que la probabilidad esta entre cero y uno incluyendo al cero y al uno pero no puede ser mayor que uno ni menor que cero) y si pues ( esta consecuencia dice que A intersección B genera el conjunto vacío, pues la probabilidad de la unión es igual a la probabilidad de A mas la probabilidad de B. Con estos conceptos previamente explicados podemos aplicar el cálculo de probabilidades.

Algunos ejemplos del cálculo de probabilidades pueden ser los siguientes: en el caso de que se arroje un dado, (que en este caso el espacio muestral sería 6). Se quiere calcular la probabilidad de que salga el número 4. Pues se puede explicar con la definición sabiendo que p(A)= que es igual a P ({4}) = , en el caso que se quiera calcular la probabilidad de que salga 3 ó 5 sería P ({3,5}) = y si se quiere calcular la probabilidad de que salga un número impar sería P({1,3,5}) = como el dado tiene del 1-6 pues los números impares serían 1,3 y 5. En el ejemplo que se mencionará a continuación se debe considerar hallar el espacio muestral primero antes de hallar la probabilidad. El ejercicio dice, si in joven tiene 6 camisas, 4 pantalones y 3 pares de zapato y cada pieza con colores distintos pero combinados. Para calcular el espacio muetral se debe calcular las combinaciones de los tres artículos, los cuales se calculan multiplicándose 6 x 4 x3 = 72, las combinaciones serían 72. Con este calculo podemos cual es el espacio muestral. En el caso que se quiera saber un vestido con los colores específicos de camisa pantalón y zapatos, pues la probabilidad sería P {combinación de la ropa} = . Estos son algunos calculos de probabilidad los cuales se pueden aplicar a un sin números de experimentos aleatorios del mundo real. Al gunas leyes de probabilidad son las siguientes;
En otros casos nos podemos encontrar con la probabilidad condicional que mide la modificación de la probabilidad de un evento por otro. Se denota por P(A/B) y se lee la probabilidad de A dado B y se representa por P(A/B) = .
Simplificando un poco podemos decir que P(A/B) = . En cuanto al los eventos independientes tenemos que y si utilizamos este concepto tenemos que P(A/B) = Por ejemplo si se arroja una moneda 3 veces. Suponga que P(cara)= calcula la P(c,c,c). Son tres eventos independientes por lo tanto sería el producto de las probabilidades de cada una de ellas, P(c,c,c) = P( c ) * P( c ) * P( c ) = . En el caso de que queremos que salga P(c,s,c,s,c) = P( c ) * P ( s ) * P( c ) *P( s ) * P( c ) = . Tenemos que entender que P (s) = para poder realizar el ejercicio. Por otro caso de que el concepto de probabilidad condicional, tenemos el siguiente ejemplo; en un universidad, se ofrecen los programas mencionados en la tabla con los estudiantes dados:

Menores de 20 años
20-25
Mayores de 25
Total
Pre medicina
25
35
5
65
Computadoras
100
50
50
200
Administración
15
75
110
200
Total
140
160
165
465



En el caso de que se quiere que la P ( pre medicina / mayores de 25) = , otro caso sería l P( computadora / 20 – 25 años) = y este otro caso donde la
P( mayores de 25 / estudien computadora) = . Estas probabilidades son condicionadas por lo tanto el orden en que se pregunten las cosas importa. Por otro lado es necesario explicar el teorema de Bayes para poder realizar el siguiente ejemplo de probabilidad. Una breve explicación de la formula por partes, puede ser; Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). Entonces la probabilidad P (Ai/B) viene dada por la expresión:

. Con el siguiente ejemplo se podrá entender un poco mejor el concepto. Asumir que usted tiene dos proveedores de suministro. El 20% de los vendidos por el primer proveedor son defectuosos. El 50% de los vendidos por el segundo proveedor son defectuosos. Se le compra el 20% al proveedor 2 y 50% al proveedor 1. Si un artículo es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que se lo halla comprado al proveedor #2? P(proveedor #2 / defectuoso) =


= .

En este tipo de cálculo de probabilidad lo utilizan las empresas para tratar de reducir los errores de manufacturación. Por otra parte se encuentra el cálculo de la variable aleatoria. Una definición para variable aleatoria puede ser la siguiente; X es una variable aleatoria que se denota por VA, si es una función que va de los subconjuntos del espacio muestral de un experimento aleatorio a los números reales. Unos ejemplos del cálculo de VA puede ser el siguiente. Si usted juega a los dados 20 veces, sumando las caras se obtiene: P(Suma = 3,5) = . Las VA pueden tomar valores contables o cualquier valor. Tambien pueden ser discretas y continuas. En el caso de variables discreta ó funcion de densidad. Sea X VA discreta pues fx(a) = P(x = a). Las variables aleatorias se clasifican según la masa. En las VA discretas tenemos las variables de tipo binomial, donde se requiere de una hipótesis y un éxito, la hipótesis se realiza n veces con resultados independientes y el éxito la ocurrencia de un evento A con probabilidad P. Un ejemplo sería al lanzar una moneda 10 veces. ¿ Cuál es la probabilidad de que salga cara en 3 de ellas? Esta probabilidad se puede calcular P(c,c,c,s,…..,s) = y luego se calcula . Otro ejemplo podía ser si un estudiante toma un examen de 10 preguntas de selección múltiple (de 2 atl.). El estudiante contesta azar. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga D (60%)? P(c,c,c,c,c,c,f,f,f,f), donde c son correctas y f incorrectas. La probabilidad de aceptar correctamente la respuesta sería
P(c,c,c,c,c,c,f,f,f,f) = . Con todos estos conceptos podemos tener un conocimiento bastante amplio sobre el cálculo de probabilidad. En todo caso quiero hacer referencia a la formula de densidad. Esta formula nos permite realizar cálculos sobre experimentos aleatoria como por ejemplo el calculo estocástico, el movimiento browniano y otros. En realidad se estaría calculando el área debajo de la curva ya que la formula de densidad hace referencia a una gráfica de campana donde el eje de simetría sería y la distancia o parámetros sería . Se denota N .

En realidad el calculo probabilidad se puede aplicar a casi todo, pero en especial se aplica día a día en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materia prima. En cuanto el movimiento browniano se puede aplicar utilizando la formula de densidad de probabilidad. Es difícil saber si vas a ganar o a perder en un juego de azar pero se puede reducir el escogido por medio del cálculo de probabilidades. Es un campo muy amplio en las matemáticas y es de suma importancia estos conceptos discutidos. En general las matemáticas buscan minimizar la problemática de lo desconocido y tiene una buena utilidad para calcular con mayor precisión. Ahora podemos calcular hasta la lotería, que es una probabilidad muy amplia pero se puede calcular.

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